Matematika–Fyzika–Informatika

Minimální triangulace mnohoúhelníku (Úlohy z MO kategorie P, 50. část)

Pavel Töpfer — Sat, 01 Mar 2025 00:00:00 +0000

Dnešním jubilejním 50. dílem uzavíráme dlouhodobý seriál článků, ve kterém jsme vás postupně seznámili s vybranými soutěžními úlohami z Matematické olympiády kategorie P (programování). Zmíněných 50 článků vycházelo na stránkách našeho časopisu od roku 2000 až do současnosti, tedy po dobu plných 25 let. Tentokrát si ukážeme jednu klasickou kombinatorickou úlohu, která byla zadána v celostátním kole 39. ročníku MO kategorie P ve školním roce 1989/90. Zabývá se tzv. triangulací mnohoúhelníku, což znamená rozdělení jeho plochy na samé trojúhelníky pomocí úhlopříček, které se vzájemně nikde nekříží. Jak uvidíme, efektivní řešení této úlohy bude založeno na myšlence dynamického programování, což je metoda velmi často využívaná nejen v různých soutěžních úlohách, ale i v programování obecně.

Generativní umělá inteligence – Díl první: příliš velká očekávání

Eduard Bartl — Sat, 01 Mar 2025 00:00:00 +0000

Umělá inteligence není v současné době námětem diskuzí pouze v odborné komunitě, jisté povědomí má o ní prakticky každý, kdo má přístup ke sdělovacím prostředkům, zejména k internetu. Vliv umělé inteligence na většinu oblastí lidského konání je skutečně nebývalý. Většina veřejnosti má velká očekávání. Někteří lidé vidí v umělé inteligenci lék na spoustu problémů tohoto světa, jiní se jí bojí a byli by nejraději, kdyby bylo její použití zakázáno. Série článků začínající tímto dílem se bude zabývat jednou z nejvíce diskutovaných podoblastí umělé inteligence, které se dnes říká generativní umělá inteligence a do které spadají zejména velké jazykové modely, jakým je například ChatGPT.

Měříme modul pružnosti ve smyku nitinolového drátu s tvarovou pamětí

Adéla Richterová, Vladimíra Erhartová, Jiří Erhart — Sat, 01 Mar 2025 00:00:00 +0000

Na příkladu nitinolového drátu s tvarovou pamětí předkládáme jednoduchou školní metodu měření modulu pružnosti ve smyku pomocí natahování pružiny s využitím zařízení Vernier. Nitinol má kvůli strukturní fázové transformaci krystalové mřížky výrazně různé moduly pružnosti v martenzitické (pod aktivační teplotou) a austenitické fázi (nad aktivační teplotou). Studentům tak můžeme ukázat příklad transformace se změnou materiálových vlastností i obecnou metodu pro určení modulu pružnosti ve smyku protahováním pružiny.

Reálný model obecného řešení frekvence kmitů elektrostatického kyvadla

Čeněk Kodejška — Sat, 01 Mar 2025 00:00:00 +0000

Elektrostatické kyvadlo podobně jako Van de Graaffův generátor (VdGG) je pro učitele fyziky základním demonstračním nástrojem při výkladu elektrostatických jevů. Většinou je použito pro demonstraci práce, kterou vykoná elektrické pole deskového kondenzátoru při přenosu nabitého míčku na stolní tenis. V úvodu práce stručně zmíníme různé teorie dynamiky elektrostatického kyvadla zahrnující buď pouze vliv elektrického pole, nebo i tíhové síly, případně další vlivy. V článku nejprve jednotlivé modely vzájemně porovnáme s reálnými výsledky experimentálního měření frekvence kmitů a následně navrhneme reálný model kmitů fyzického kyvadla, který přináší obecné řešení zahrnující elektrické i tíhové síly působící na kyvadlo i koeficient restituce. V druhé části práce se pokusíme vysvětlit hodnotu koeficientu, který představuje poměrnou část náboje přeneseného při kontaktu kyvadla s deskou kondenzátoru, srovnáním časové konstanty vybíjení VdGG s náhradním RC obvodem. Při vysvětlení teorie popisující pohyb reálného fyzického kyvadla provedeme současně diferenciaci vztahů pro frekvenci kyvadla na jednotlivých úrovních od středoškolské až po vysokoškolský kurz. Ukážeme také, jak mohou být výsledky této práce aplikovány na středních školách v rámci laboratorních cvičení při měření napětí VdGG jako zdroje vysokého napětí v experimentu s elektrostatickým kyvadlem. Závěry nicméně platí obecně pro libovolný použitý zdroj vysokého napětí.

Motýlí křídla v lichoběžníku

Lenka Juklová, Jaroslav Švrček — Sat, 01 Mar 2025 00:00:00 +0000

Článek se zabývá problematikou geometrických úloh, které využívají známé tvrzení o rovnosti obsahů dvou trojúhelníků, jejichž společným vrcholem je průsečík úhlopříček lichoběžníku a zbývající dva vrcholy jsou krajní body obou jeho ramen. Toto tvrzení, často označované jako „motýlí křídla v lichoběžníku“, poskytuje elegantní nástroj pro řešení zajímavých úloh. V článku jsou uvedeny aplikace tohoto tvrzení při řešení konkrétních úloh.

Ruinování hráče v hazardní hře

Pavel Tlustý — Sat, 01 Mar 2025 00:00:00 +0000

Článek se věnuje problematice pravděpodobnostního uvažování v oblasti hazardních her. Ukazuje, že správné pochopení základních principů hazardních her je jeden ze způsobů ochrany proti gamblerství. Umožňuje hráči racionálně myslet a vrátit se zpět do reality.

O vázaných extrémech funkcí

Dag Hrubý — Sat, 01 Mar 2025 00:00:00 +0000

V článku jsou řešeny jednodušší úlohy na vázané extrémy funkcí. Při řešení úloh jsou použity metody, které nepoužívají diferenciální počet. Významně je zde využito vlastností diskriminantu kvadratické rovnice.

Výpočty a obrázky

František Kuřina, Jana Cachová — Sat, 01 Mar 2025 00:00:00 +0000

Článek se zabývá rolí obrázků při řešení úloh. Druhá část obsahuje několik úloh a jejich řešení s pomocí obrázků.

O jednom probléme z teórie čísel

Martin Melicher, Michal Janík — Sat, 01 Mar 2025 00:00:00 +0000

Článek uvádí důkaz úlohy z teorie čísel, která se zde v časopise objevila před více než dvěma lety, žádné řešení na ni však redakce neobdržela. Důkaz vychází z reformulace úlohy na otázku racionální aproximace čísel určitého tvaru. K vyřešení úlohy je pak použita Dirichletova aproximační věta, která pojednává právě o racionálních aproximacích. Součástí příspěvku je také důkaz této užitečné věty prostřednictvím Dirichletova principu.

Zajímavé matematické úlohy

Editor MFI — Sat, 01 Mar 2025 00:00:00 +0000

Pokračujeme v uveřejňování dalších nových úloh tradiční rubriky.